Skip to content

Einführung

Partielle Ableitung

Um die Funktion \(z=f(x, y) = 2x^2 + 5 y\) abzuleiten, kann nach \(x\) und \(y\) separat abgeleitet werden: $$ \begin{align} \text{nach }x: \frac{\partial f}{\partial x} &= 4x + 0 \ \text{nach }y: \frac{\partial f}{\partial y} &= 0 + 5 \ \end{align} $$ Diese Ableitung kann folgendermassen visualisiert werden:

image-20240225130844140

Jacobi-Matrix

Für die Funktion \(f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m\) mit \(\vec y = f(\vec x)=\begin{pmatrix}y_1=f_1(\vec x) \\ y_2 = f_2(\vec x)\\ ... \\ y_m=f_m(\vec x)\end{pmatrix}\) und \(\vec x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T\) ist die Jacobi-Matrix das folgende: $$ Df(x)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\vec x) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(\vec x) & ... & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\vec x) \

\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(\vec x) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(\vec x) & ... & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(\vec x) \

... & ... & ... & ... \ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\vec x) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(\vec x) & ... & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\vec x) \ \end{pmatrix} $$ In dieser Matrix ist in einer Reihe alle möglichen partiellen Ableitungen für \(f_1(\vec x)\)

Nobla-Operator

\[ \grad = \begin{pmatrix} \frac{\part}{\part x_1}\\ \vdots\\ \frac\part{\part x_n} \end{pmatrix} = \mathrm{grad} f(\vec{x}) \]

Differentialoperatoren

Laplace

\[ \Delta u(\vec x) = \grad \cdot \grad u(x) = \mathrm{div}(\grad u(x)) \]

Gradient

Sei \(f: D \subset \R^n \to \R\) differenzierbar, dann heisst $$ \mathbf{grad} f(\vec x)=\grad f(\vec x)^T= \begin{pmatrix} \partial_{x_1} f(\vec x) \ \vdots\ \partial_{x_n}f(\vec x) \end{pmatrix} $$ der Gradient von \(f\).

Divergenz

\[ \mathrm{div} f(\vec x) = \grad \cdot f(\vec x) = \frac{\part f_1}{\part x_1}(\vec x) +\dots+\frac{\part f_n}{\part x_n}(\vec x) \]

Folgendes ist ein Beispiel: $$ \vec F : \Omega \sub \R^u \to \R^u & \vec F(\vec x)= \begin{pmatrix} F_1(\vec x)\ \vdots\ F_n(\vec x) \end{pmatrix} \ \mathrm{div} \vec F(\vec x) = \part_{x_1}F_1(\vec x) + \dots + \part_{x_n}F_n(\vec x) \ \begin{align} \mathrm{div}(\grad \vec F(\vec x))\ & = \part_{x_1}F_1(\vec x) + \dots + \part_{x_n}F_n(\vec x) \ &= \part_{x_1}\part_{x_1}F_1(\vec x) +\part_{x_2}\part_{x_2}F_1(\vec x) + \dots + \part_{x_n}\part_{x_n}F_n(\vec x) \ &= \part_{x_1^2}F_1(\vec x) + \dots + \part_{x_n^2}F_n(\vec x) \end{align} $$ Wenn die Divergenz

  • positiv ist, dann steigt etwas (z.B. Raum wird wärmer)
  • \(=0\) ist, dann bleibt sie gleich,
  • negative ist, dann sinkt etwas (z.B. Raum wird kälter)

Rotation (curl in Englisch)

\[ W: \Omega \subset \R^3 \to \R^3\\ \grad \times W = \mathrm{rot } W = \begin{vmatrix} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\ \part x_1 & \part x_2 & \part x_3 \\ W_1 & W_2 & W_3 \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} \part_{x_2} W_3 - \part_{x_3}W_2 \\ \part_{x_3} W_1 - \part_{x_1}W_3 \\ \part_{x_1} W_2 - \part_{x_2}W_1 \\ \end{pmatrix} \]

Satz von Gauss

\[ \int_\Omega \mathrm{div } \vec F \mathrm\, dV = \int_{\part\Omega}\vec F \cdot \vec n \, \mathrm ds \]

Der linke Teil stellt ein abgeschlossenes Gebiet, der rechte Teil ist die Oberfläche von \(\Omega\).

FEM

  1. Multiplikation mit Testfunktion \(v(x)\)
  2. Partiel integrieren \(v(0)=v(1)=0\) gilt immer da es in den Funktionesraum \(V\) so eingebaut wird

Extremum & Infimum

Wenn eine Menge als \(]a, b[=(a, b) \in \R\) definiert ist, dann gibt es kein minimum und maximum. Anstelle, gibt es ein das Extremum (max) und das Infimum (min), welche angenähert werden aber nie getroffen werden. $$ \sup_{x\in]a,b[\in \R}=b \ \inf_{x\in]a, b[\in \R}=a $$