AN2 Summary 26.01.2022

AN2 Summary 26.01.2022

Begriff	Erklärung
gerade Funktion	Wenn der Graph achsensymmetrisch mit der y-Achse ist (wie bei $x^2$)
ungerade Funktion	Wenn der Graph punktsymmetrisch mit dem Nullpunkt ist (wie bei $x^3$)
Komposition	$(g\circ f)(x)=g(f(x))$
Injektive Funktion	Keine zwei $x$ führen zum selben $y$. Von einer injektiven Funktion gibt es eine Umkehrfunktion.
$\sum^5_{k=1}a_k$	Addiert $a_k$ bis (inklusiv) $5$: $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$
Übliche Summenformeln	$\sum^n_{k=1}k=\frac{n(n+1)}2$ $\sum^n_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$
Polynomfunktion	$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+..+a_1\cdot x + a_0$
Komposition	$(g\circ f)(2)=g(f(2))$
Funktion	Mapt vom Definitionsbereich $D$ zum Wertebereich $W$
Mitternachtsformel	$D=b^2-4ac$ und $x=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a}$

Reihen & Folgen

Name	explizite Darstellung	implizite Darstellung	aufzählende Darstellung
Arithmetische Folge	$a_n=c+(n-1)\cdot d$	$a_1=c\\a_{n+1}=a_n+d$	$c,c+d,c+2d,c+3d,...$
Geometrische Folge	$a_n=c\cdot q^{n-1}$	$a_1=c\\a_{n+1}=q\cdot a_n$	$c, c\cdot q, c\cdot q^2, c\cdot q^3, ...$
Harmonische Folge	$a_n=\frac 1 n$	(nicht üblich)	$1, \frac 1 2, \frac 1 3, \frac 1 4, ...$
Fibonacci-Folge	(nicht elementar)	$a_1=1, a_2=1\\a_{n+1}=a_n+a_{n+1}$	$1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$

Arithmetische Reihee
$a_k=a_1+(k-1)\cdot d$
$s_n=n\cdot a_1+\frac{n(n-1)}2 \cdot d$
$\sum^n_{k=0}(k^2)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum^n_{k=0}k=\frac{n(n+1)}{2}$
Strebt immer geben $\infty$ oder $-\infty$
Geometrische Reihe
$a_n=q^{(k-1)}\cdot a_1$
$s_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$
Wenn $|q|<1$ ist, dann ist der Grenzwert $\frac {a_1}{1-q}$

Grenzwert

$\lim_{n\to\infty}(c\cdot a_n)=c\cdot \lim_{n\to \infty} a_n$
$\lim_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to \infty}=\lim_{n\to \infty}a_n + \lim_{n\to \infty} b_n$
$\lim_{n\to \infty}(a_b\cdot b_n)=\lim_{n\to \infty}a_b \cdot \lim_{n\to \infty} b_n$
$\lim_{n\to \infty}(\frac {a_n} {b_n})=\lim_{n\to \infty} a_n : \lim_{n\to \infty}b_n$
$\lim_{n\to\infty}(\sqrt a - \sqrt b)=\lim_{n\to\infty}(\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)}{\sqrt a + \sqrt b})=\lim_{n\to\infty}(\frac{a-b}{\sqrt a + \sqrt b})$

Wenn man einen Bruch in einem $\lim$ hat, dann kann mit dem höchsten $n^k$ mit dem höchsten $k$ gekürzt werden

Beispiel: $$ \lim_{n\to \infty}=\frac{3n^2+7n-3}{n^2+4n-11}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^2(3+\frac 7 n-\frac 3 {n^2})}{n^2(1+\frac 4 n - \frac {11} {n^2})}\rightarrow\frac {3+0+0}{1+0+0}=\frac 3 1 = 3 $$

Spezialfall: $\lim_{n\to\infty}(1+\frac 1 n)^n=e=2.718$ $$ \text{Speziallfall: }\lim_{n\to\infty}(1+\frac 1 n)^n=e=2.718\ \text{Beispiel: } \lim_{n\to\infty}(1+\frac{9}{4n})^{-5n}\ (1+\frac{9}{4n})^{-5n}=(1+\frac{9}{4n}\cdot\frac{\frac 1 9}{\frac 1 9})^{-5n}=(1+\frac 1 {\frac {4n} 9})^{-5n}\=(1+\frac 1 {\frac {4n} 9})^{-5n\cdot\frac{\frac{4n} 9}{\frac{4n} 9}}=(1+\frac 1 {\frac {4n} 9})^{\frac{4n} 9\cdot \frac{-5n}{\frac{4n} 9}}=(1+\frac 1 {\frac {4n} 9})^{\frac {4n} 9\cdot \frac{-45} 4}\=((1+\frac 1 {\frac {4n} 9})^{\frac{4n} 9})^{\frac{-45} 4}=e^{\frac{-45} 4} $$

Typ	Funktionswert	Beispiel
Typ 1: Hebbare Definitionslücke Das Zähler- und Nennerpolynom haben dieselbe Nullstelle. Diese kann gekürzt werden	Strebt gegen den gekürzten Bruch
Typ 2: Polstelle Nur das Nennerpolynom hat die Nullstelle. Dies kann nicht gekürzt werden	Strebt gegen $\infty$ oder $-\infty$

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn man sie zeichnen kann, ohne den Stift abzusetetzen. Eine stetige Funktion hat keine Sprünge in der ersten Ableitung und keine Sprünge in der eigentlichen Funktion.

Nullstellen finden mit Stetigkeit

Zwei Punkte, bei denen der Y-Wert ein verschiedenes Vorzeichen hat
Den Mittelwert zischen den Punkten bilden
Zu 1. gehen, aber diesem mit dem Mittelpunkt als Punkt, so dass die zwei Pünkte ein verschiedenes Vorzeichen haben

Hornerschema

Die Werte ($b_n$), welche unter dem Strich stehen, sind die Koeffizenten für das $q(x)$ in $f(x)=(x-x_0)\cdot q(x)$. In diesem fall also $q(x)=3x^3-8x^2+21x-49$. Dafür muss das Resultat/Rest 0 sein!

Polynomdivision

Extremwerte (ev. löschen)

1. Ableitung	2. Ableitung	Beschreibung
$f'(x)>0$	$f''(x_0)>0$	$f$ macht eine Linkskurve nach oben bei $(x_0, y_0)$
$f'(x)>0$	$f''(x_0)<0$	$f$ macht eine Rechtskurve nach oben bei $(x_0, y_0)$
$f'(x)<0$	$f''(x_0)>0$	$f$ nmacht eine Linkskurve nach unten bei $(x_0, y_0)$
$f'(x)<0$	$f''(x_0)<0$	$f$ macht eine Rechtskurve nach unten bei $(x_0, y_0)$
$f'(x)=0$	$f''(x)<0$	$f$ hat ein lokales Maximum bei $(x_0, y_0)$
$f'(x)=0$	$f''(x)>0$	$f$ hat ein lokales Minimum bei $(x_0, y_0)$

	$x_0$ heisst	$f(x_0)$ heisst	$(x_0, y_0)$ heisst
Maxiumum	(relative) Maximalstelle	(relatives) Maximum/Maximalwert	(relativer) Hochpunkt
Minimum	(relative) Minimalstelle	(relatives) Minimum/Minimalwert	(relativer) Tiefpunkt
Oberbegriff	(relative) Extremalstelle	(relatives) Extremum/Extremalwert	(relativer) Extremalpunkt

Wendepunkte und Sattelpunkte (ev. löschen)

Eine Wendepunkt, ist wenn eine Rechtskurve in eine Linkskurve, oder umgekehrt, geht. Ein Spezialfall ist es, wenn $f'(x)=0$ ist, dann spricht man von einem Sattelpunkt.

Wenn $f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq 0$ ist, dann ist es sicherlich einen Wendepunkt.

Wenn zusätzlich noch $f'(x_0)=0$ gilt, dann ist es ein Sattelpunkt

Fragen für die Kurvendiskussion (ev. löschen)

Definitionsbereich?
Symmetrieeigenschaften (gerade/ungerade), Periode?
Schnittpunkte mit Achsen, Polstellen?
Randpunkte, bzw. Verhalten, wenn $x$ gegen die Grenzen des Definitionsbereichs strebt?
Kandidaten für Extrema bestimmen und untersuchen
Wendepunkte suchen
Tabelle von Werten aufstellen (falls noch nötig)

Extremaufgaben (ev. löschen)

Zielgrösse identifizieren
Unabhängige Variable identifizieren
Definitionsbereich bestimmen
Zielgrösse als Funktion mit unabhängigen Variabeln als Argument ausdrücken
Relative Maxima/Minima bestimmen; Randpunkte auch berürcksichtigen!
Welche relative Extrema sind auch absolute?

Ableiten

Name	Formel
	$x^k=k\cdot x^{k-1}$
Faktorregel	$(c\cdot f)'(x)=c\cdot f'(x)$
Summenregel	$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$
Produktregel	$(u\cdot v)'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$
Quotientenregel	$(\frac u v)'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v(x)^2}$
Kettenregel	$(F\circ u)'(x)=F'(x)\cdot u'(x)$
sin	$sin(x)'=cos(x)$
cos	$cos(x)'=-sin(x)$
tan	$\tan(x)'=\frac 1 v{\cos^2(x)}$
arcsin	$\arcsin(x)'=\frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}$
arccos	$\arccos(x)'=-\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}$
arctan	$\arctan(x)'=\frac 1 {1+x^2}$
$e^x$	$(e^x)'=e^x$
$(a^x)'$	$(a^x)'=a^x\cdot \ln(a)$
$\ln(x)'$	$\ln(x)'=\frac 1 x$
$\log_a(x)'$	$\log_a(x)'=\frac 1 {x\cdot \ln(a)}$
Funktionsgleichung für Tangente	$y(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$

Achtung: Nicht jede Funktion ist differenzierbar. Die Ableitung einer Funktion darf keine plötzliche Sprünge machen

Newton Verfahren

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Integrieren

Ableiten: $a\cdot x^n\rightarrow \frac{a}{n+1}\cdot x^{n+1}$

Schreibweise von Integral von der Fläche zwischen $[a;b]$: $\int^b_a f(x) \mathrm d x =F(b)-F(a)$$

$\int a^x \mathrm d x =\frac {a^x}{\ln(a)} + C$
$\int e^{ax}=ae^{ax}$
$\int \ln(x)\mathrm dx=x\cdot \ln(x)-x + C$
$\int \log_a(x)\mathrm dx=\frac 1 {\ln(a)}\cdot (x \cdot \ln(x) -x) + C$
$\int \sin(x)\mathrm dx=-\cos(x)+C$
$\int \cos(x)\mathrm dx=\sin(x)+C$
$\int \tan(x)\mathrm dx = -\ln |\cos(x)|+C$
$\int u^{-1}\mathrm dx=\ln(|u|)$

Substition

Substitutionsgleichung für $x: u = g(x)$
Substitionsgleichung für $\mathrm dx: \frac {\mathrm du}{\mathrm dx}=g'(x) \Rightarrow \mathrm dx = \frac{\mathrm du}{g'(x)}$
Integralsubstition: $\mathrm dx$ und $x$ durch $\mathrm du$ und $u$ ersetzen (Es darf nach dem kürzen kein $x$ im Integral mehr haben)
Integration: Bei bestimmten Integralen müssen die Integralsgrenzen auch durch $u(x)$ gelassen werden
Rücksubstition (nur bei unbestimmten Integralen): Alle $u$s müssen durch $u(x)$ ersetzt werden

Wenn $u(x)$ linear ist, kann der Satz $\int f(ax + b)\mathrm dx =\frac 1 a\cdot F(ax + b)$ für das integrieren genutzt werden. (Dabei muss $f(x)$ nicht gleich $u(x)$ sein)

Partielle-Integration

$\int u(x)\cdot v'(x)\mathrm dx = u(x)\cdot v(x) - \int u'(x)\cdot v(x)\mathrm dx$ oder $\int^b_a u(x)\cdot v'(x)\mathrm dx = \left[u(x)\cdot v(x)\right]^b_a - \int^b_a u'(x)\cdot v(x)\mathrm dx$

$u(x)$ muss einfach abgeleitet werden können und $v(x)$ sollte nicht komplizierter in der Stammfunktion werden.

Partielbruchzerlergung

Es braucht ein Integral der Form $\int \frac {g(x)}{h(x)}\mathrm dx=\int f(x)\mathrm dx$

Nullstellen in $h(x)$ bestimmen: Erraten, mit Hornerschema oder faktorisieren
Jeder Nullstelle eine Summe von Brüchen zuweissen
$x_1$ ist eine einfache Nullstelle $\rightarrow \frac A {x-x_1}$
$x_2$ ist eine doppelte Nullstelle $\rightarrow \frac{B_1}{x-x_2}+\frac{B_2}{(x-x_2)^2}$
$x_3$ ist eine r-fache Nullstelle $\rightarrow \frac {C_1}{x-x_3}+\frac{C_2}{(x-x_3)^2}+...+\frac{C_r}{(x-x_3)^r}$
$f(x)$ mit der Summe aller Partialbrüche gleichgesetzt
Konstante ($A_i$, $B_i$, $C_i$, ...) bestimmen
Alle Partialbrüche auf den selben Nenner bringen. Da auf beiden Seiten derselbe Nenner steht, müssen die Zähler auch gleich sein
Für das Gleichungssystem der Zähler die Nulstellen in $x$ einsetzen
Lineares Gleichungssystem lösen
Integrieren
$\int \frac 1 {x-x_0}\mathrm dx=\ln\vert x-x_0\vert + C$
$\int \frac 1 {(x-x_0)^2}\mathrm dx=-\frac 1 {1(x-x_0)}+C$
$\int \frac 1 {(x-x_0)^3}\mathrm dx=-\frac 1 {2(x-x_0)^{2}}+C$
$\int \frac 1 {(x-x_0)^r}\mathrm dx=\frac 1 {(1 - r)(x-x_0)^{r-1}}+C$

Uneigentliche Integrale

$\int ^\infty_a f(x)\mathrm dx = \lim_{t\to \infty}\int ^t_a f(x) \mathrm dx=\lim_{t\to \infty}F(t)-F(a)$
Zuerst die Stammfunktion berechnen und danach $F(t)-F(a)$ berechnen mit $t$ nach $\infty$ gehen lassen
$\int^b_a f(x)\mathrm dx=\lim_{t \to a} f(x)\mathrm dx=\lim_{t\to a}F(b) - F(a)$

Differentialgleichungen

Eine Funktion, in welcher die die gesuchte Funktion $f$ und die Ableitung dieser Funktion $f'$ Beispiel:

$y'=0\rightarrow y=c$

$y'=y\rightarrow y=c\cdot e^x$

$y'=7y\rightarrow y=e^{7x}$

Ordnung einer Ableitung ist die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung

Die Partikuläre Lösung?:

Anfangsbedingungen: vorgegebene Werte für $y(x_0), y'(x_0),...,y^{(n-1)}(x_0)$

Randbedinungen: vorgegebene Werte für $y(x_1), y(x_2),...,y(x_n)$

Gewöhliche Differentialgleichung 1. Ordnung

$y'=F(x, y)$

Richtungsfeld

Euler-Schritte

$x_n=x_{n-1}+h$ und $y_n=y_{n-1}+h\cdot F(x_{n-1}, y_{n-1})$

Dabei ist $h$ die Schrittgrösse. Je kleiner, desto genauer ist die Approximation

Separierbare Differentialgleichungen

\[ y'=f(x)\cdot g(y) \]

Die Differentialgleichung darf umgeformt werden, damit sie in diese Form passt ($x+y\cdot y'=0 \Rightarrow y\cdot y'=-x\Rightarrow y'=-x\cdot \frac 1 y$)

$y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x)\cdot g(y)$
Trennung der Variablen: $\frac {\mathrm dy}{g(y)}=f(x)\cdot \mathrm dx$
Integration auf beiden Sieten($+C$ nicht vergessen): $\int \frac 1{g(y)}\mathrm dy=\int f(x)\mathrm dx$
Auflösen nach $y$

Autonome Differentialgleichung

\[ y'=f(y) \]

Autonome Differentialgleichungen sind separierbar.

autonom:
$y'=y^2 + 6$
$y'=y^2\cdot \sqrt{1 - \sin(y)}-\ln(y)$
nicht autonom
$y' = x + y$
$y'=\frac y x$

Lineare Differentialgleichungen

\[ y'+f(x)\cdot y=g(x) \]

$f(x)$ und $g(x)$ bestimmen
Stammfunktion $F(x)$ und $G(x)$ bestimmen
In die Formel $y_0=C\cdot e^{-F(x)}$ einsetzen
$C$ durch $K(x)$ ersetzen: $y=K(x)\cdot e^{-F(x)}$
$K(x)$ berechnen ($+C$ nicht vergessen): $K(x)=\int g(x)\cdot e^{F(x)}\mathrm dx$
Einstezen von $K(x)$ in $y=K(x)\cdot e^{-F(x)}$

Anwendung von Integrale

Mittelwert

$\mu=\frac 1 {b - a}\cdot \int^b_a f(x)\mathrm dx$

Arbeitsintegral

Die Formel für die Arbeit ist: $Arbeit=Kraft \cdot Weg$. Somit kann mit der Funktion $f(x)$, welche die Kraft an einer Strecke zurück gibt, integriert werden.

Rotationskörper

$$ \text{Horizontal: } & V=\pi \cdot \int^b_a(f(x))^2\mathrm dx\ \text{Vertikal: } & V=\pi\cdot \int^d_c(g(y))^2 \mathrm dx\ \text{wobei gilt: } &c \le y \le d \text{ und } g(y)=x \text{ ist die Umkehr-Funktion von } f(x) $$

Bogenlänge

$$ s=\int^b_a\sqrt{1+(y')^2}\mathrm dx $$

Mantelfläche eines Rotationskörpers

\[ M=2\pi \cdot \int^b_a y\cdot \sqrt{1 + (y')^2}\mathrm dx \]

Schwerpunkt einer Fläche von zwischen zwei Kurven

$$ x_s=&\frac 1 A \int^b_a x\cdot (f_o(x) - f_u(x))\mathrm dx\ y_s=&\frac 1 {2A}\int^b_a(f^2_o(x)-f^2_u(x))\mathrm dx $$

Schwerpunkt eines Rotationoskörper

$$ x_s=&\frac \pi V \int^b_a x\cdot f^2(x) \mathrm dx\ y_s=&0\ z_s=&0 $$

Taylor-Reihen

\[ p_n=\sum^n_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k \]

Funktion	$x_0$	Taylor-Reihe	Radius
$e^x$	0	$\sum^\infty_{k=0}\frac {x^k}{k!}=1+x+\frac {x^2} {2!} + \frac{x^3}{3!}+...$	$\infty$
$e^{-2x}$	0	$\sum^\infty_{k=0}\frac{-x^{2k}}{k!}=1-x^2-\frac {x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!}+...$	$\infty$
$\sin(x)$	0	$\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$	q
$\cos(x)$	0	$\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$
$\ln(x)$	1	$\sum^\infty_{k=0}(-1)^{k}\cdot\tfrac 1 {k+1}(x-1)^{k+1}=(x-1)-\tfrac 1 2(x-1)^2+\tfrac 1 3(x-1)^3-\tfrac 1 4 (x-1)^4+...$
$x^{-1}=\frac 1 x$	1	$\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\cdot(x-1)^k=1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+(x-1)^4-...$

Komposition

\[ T_{h,x_0}\text{ bezeichnet die Taylor-Reihe von } h(x) \text{ um } x_0\\ T_{g,f(x_0)}(f(x))=T_{g\circ f),x_0}(x_0) \]

Beispiel: $$ f(x)=-x^2\ g(x)=e^x\ x_0=0\ g(x)=e^2\approx T_{g,0}(z)=1+z+\frac {z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...\ g(f(x))=e^{-x^2}\approx T_{(g\circ f), x_0}=T_{g, f(x_0)}=1+(-x^2)+\frac{(-x^2)^2}{2!} \frac{(-x^2)^3}{3!}+...=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+... $$

Konvergenz

\[ f(x)=\sum^\infty_{k=0}a_k(x-x_0)^k\\ r=\lim_{k\to\infty}\left\vert\frac{a_k}{a_{k+1}}\right\vert\\ x_1=\vert x - x_0\vert\\ x_2 = \vert x + x_0\vert \]

$r$ ist der Radius um $x_0$, in welchem das Taylor-Polynom genau ist, wenn $k$ gegen Unendlich geht. $x_1$ und $x_2$ stellen die äusserst möglichsten Punkte, welche vom Taylor-Polynom genau bestimmt werden können.

Hopital-Regel

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

1. Ableitung	2. Ableitung	Beschreibung
\(f'(x)>0\)	\(f''(x_0)>0\)	\(f\) macht eine Linkskurve nach oben bei \((x_0, y_0)\)
\(f'(x)>0\)	\(f''(x_0)<0\)	\(f\) macht eine Rechtskurve nach oben bei \((x_0, y_0)\)
\(f'(x)<0\)	\(f''(x_0)>0\)	\(f\) nmacht eine Linkskurve nach unten bei \((x_0, y_0)\)
\(f'(x)<0\)	\(f''(x_0)<0\)	\(f\) macht eine Rechtskurve nach unten bei \((x_0, y_0)\)
\(f'(x)=0\)	\(f''(x)<0\)	\(f\) hat ein lokales Maximum bei \((x_0, y_0)\)
\(f'(x)=0\)	\(f''(x)>0\)	\(f\) hat ein lokales Minimum bei \((x_0, y_0)\)

Name	Formel
	\(x^k=k\cdot x^{k-1}\)
Faktorregel	\((c\cdot f)'(x)=c\cdot f'(x)\)
Summenregel	\((f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\)
Produktregel	\((u\cdot v)'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\)
Quotientenregel	\((\frac u v)'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v(x)^2}\)
Kettenregel	\((F\circ u)'(x)=F'(x)\cdot u'(x)\)
sin	\(sin(x)'=cos(x)\)
cos	\(cos(x)'=-sin(x)\)
tan	\(\tan(x)'=\frac 1 v{\cos^2(x)}\)
arcsin	\(\arcsin(x)'=\frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}\)
arccos	\(\arccos(x)'=-\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\)
arctan	\(\arctan(x)'=\frac 1 {1+x^2}\)
\(e^x\)	\((e^x)'=e^x\)
\((a^x)'\)	\((a^x)'=a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)'\)	\(\ln(x)'=\frac 1 x\)
\(\log_a(x)'\)	\(\log_a(x)'=\frac 1 {x\cdot \ln(a)}\)
Funktionsgleichung für Tangente	\(y(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)\)

Funktion	\(x_0\)	Taylor-Reihe	Radius
\(e^x\)	0	\(\sum^\infty_{k=0}\frac {x^k}{k!}=1+x+\frac {x^2} {2!} + \frac{x^3}{3!}+...\)	\(\infty\)
\(e^{-2x}\)	0	\(\sum^\infty_{k=0}\frac{-x^{2k}}{k!}=1-x^2-\frac {x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!}+...\)	\(\infty\)
\(\sin(x)\)	0	\(\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\)	q
\(\cos(x)\)	0	\(\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...\)
\(\ln(x)\)	1	\(\sum^\infty_{k=0}(-1)^{k}\cdot\tfrac 1 {k+1}(x-1)^{k+1}=(x-1)-\tfrac 1 2(x-1)^2+\tfrac 1 3(x-1)^3-\tfrac 1 4 (x-1)^4+...\)
\(x^{-1}=\frac 1 x\)	1	\(\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\cdot(x-1)^k=1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+(x-1)^4-...\)

Name	explizite Darstellung	implizite Darstellung	aufzählende Darstellung
Arithmetische Folge	\(a_n=c+(n-1)\cdot d\)	\(a_1=c\\a_{n+1}=a_n+d\)	\(c,c+d,c+2d,c+3d,...\)
Geometrische Folge	\(a_n=c\cdot q^{n-1}\)	\(a_1=c\\a_{n+1}=q\cdot a_n\)	\(c, c\cdot q, c\cdot q^2, c\cdot q^3, ...\)
Harmonische Folge	\(a_n=\frac 1 n\)	(nicht üblich)	\(1, \frac 1 2, \frac 1 3, \frac 1 4, ...\)
Fibonacci-Folge	(nicht elementar)	\(a_1=1, a_2=1\\a_{n+1}=a_n+a_{n+1}\)	\(1, 1, 2, 3, 5, 8, ...\)