Matrix

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenfeld, wie z.B. diese 3x2 Matrix: $\begin{bmatrix}7 & 6 & 2\\2 & 3 & 3\end{bmatrix}$

Addition und Subtraktion

Matrizen addieren und subtrahieren ist denkbar einfach. Jede Zahl wird mir der Zahl an der gleichen Stelle in der anderen Matrix addiert, bzw. subtrahiert. $$ \begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \ x_4 & x_5 & x_6\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}y_1 & y_2 & y_3 \ y_4 & y_5 & y_6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1-y_1 & x_2-y_2 & x_3-y_3 \ x_4-y_4 & x_5-y_5 & x_6-y_6\end{bmatrix} $$ Dasselbe gilt auch für die Addition.

Skalar Multiplikation

Wenn eine Matrix mit einem Wert, wie 3 multipliziert wird, entsteht eine neue Matrix, in welcher alle Werte mit diesem Wert multipliziert wurden: $$ c \cdot \begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \ x_4 & x_5 & x_6\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c\cdot x_1 & c\cdot x_2 & c\cdot x_3 \ c\cdot x_4 & c\cdot x_5 & c\cdot x_6\end{bmatrix} $$

Matrix Multiplikation

Wenn zwei Matrizen multipliziert werden, wie $A\cdot B$, dann muss die Breite von $A$ gleich die Höhe von $B$ sein. Das Resultat ist eine Matrix, welche so hoch ist, wie $A$ und so breit ist, wie $B$. $$ \begin{bmatrix}x_{11} & x_{21} & x_{31} \ x_{12} & x_{22} & x_{32}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}y_{11} & y_{21} \ y_{12} & y_{22} \ y_{13} & y_{23}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{11}\cdot y_{11} + x_{21}\cdot y_{12} + x_{31}\cdot y_{13} & x_{11}\cdot y_{21} + x_{21}\cdot y_{22} + x_{21}\cdot y_{23} \ x_{12}\cdot y_{12} + x_{22}\cdot y_{12} + x_{32}\cdot y_{13} & x_{12}\cdot y_{21} + x_{22}\cdot y_{22} + x_{22}\cdot y_{23} \end{bmatrix} $$ Oder in Worte, in das Feld (1/1) wird jeder Wert der Zeile 1 von A mit jedem Wert der Spalte 1 von B gerechnet. In den Wert (1/2), wird Zeile 1 mit der Spalten 2 gerchnet.

Das Feld (2/1) wird berechnet, in dem die Reihe 2 mit der Spalte 1 multipliziert wird und das Feld (2/2) wird berechnet in dem, die Reihe 2 mit der Spalte 2 gerechnet wird.

Wegen dieser Rechnenart, ist die Multiplikation mit zwei Matrizen nicht kommunikativ.

Mit dem TR und Ein-Bit Arithmethik, kann modulo 2 gerechnet werden, um das korrekte Resultat zu bekommen.

Einheitsmatrix

Eine Einheitsmatrix, ist eine quadratische Matrix, welche Diagonal überall eine 1 hat und sonst 0: $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ Diese Matrix hat die Eigenschaft, dass wenn eine Matrix $A$ mit einer Identitätsmatrix multipliziert wird, dass wieder die Matrix $A$ herauskommt.

Inverse Matrix

Die Inverse Matrix, ist die Matrix $A^{-1}$, welche mit der Matrix $A$, eine Identitätsmatrix $I$ ergibt:

$A\cdot A^{-1}=I$

Transponierte Matrix

Eine transponierte Matrix $A^T$ von $A$ ist, wenn die Spalten in $A$ zu Reihen werden und die Reihen in $A$ zu Spalten werden: $$ B= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}\ B^T= \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4\ 3 & 5 \end{bmatrix} $$