Summenzeichen

\(\sum\limits_{k=1}^{5} 2\cdot k\)

Das Summenzeichen ist eine Art For-Loop in Mathe.

Folgendes Beispiel: \(\sum\limits_{k=5}^{10} 2\cdot k\)
kann zu folgendem Code übersetzt werden:

int sum = 0
for(int k = 5; k <= 10; k++)
    sum += 2*k;

Wichtig: Die obere Limite ist inklusiv. Im oberen Beispiel wird \(2\cdot k\) also 6x ausgeführt.

Recheregeln

Mit den folgenden Recheregeln können Summen zusammengefasst oder aufgespalten werden

• \(\sum\limits_{k=1}^5 (c\cdot k) = c\cdot \sum\limits_{k=1}^5 k\)
• \(\sum\limits_{k=1}^5 (2k + k^2) = \sum\limits_{k=1}^5 2k + \sum\limits_{k=1}^5 k^2\)
• \(\sum\limits_{k=1}^n k + \sum\limits_{k=n + 1}^m k = \sum\limits_{k=1}^m k\)
• Achtung: \(\sum\limits_{k=1}^5 (2k \cdot k^2) \neq (\sum\limits_{k=1}^5 2k) \cdot (\sum\limits_{k=1}^5 k^2)\)

Ebenfalls ein nützlicher Trick: \(\sum\limits_{k=u}^n k = \frac{(n-u+1)\cdot (n + u)}{2}\)

In folgender Summe \(\sum\limits_{k=2}^6 k\) können wir feststellen, dass wenn wir die k der Reihe nach zusammen rechnen, dass es immer \(2+6 = 8\) gibt.

Aufsteigende Reihe	2	3	4	5	6
Absteigende Reihe	6	5	4	3	2
Summe	8	8	8	8	8

Alls können wir auch 5-mal 8 rechnen und dies durch 2 teilen, da wir sonst zwei Reihen miteinander verrechnen.